Distance de l’horizon

30 mai 2019 jacques Les actualités, Non classé, 0

Solution du jeu concours Facebook du 20 mai 2019.

Quelle est la distance de l’horizon en mer pour un observateur de 1.73m situé lui même à 1,50 m au dessus de la mer ? Résultat à donner en M.

Pour commencer, félicitation à tous les participants d’avoir pris le temps de chercher et de faire le calcul , qui s’avère pas si simple que cela en raison de certaines approximations physique comme de rayon de la terre, de la réfaction des ondes électromagnétiques, mais aussi de l’énoncé volontairement un peu vague, … au fait un observateur de 1,73m à les yeux à quelles hauteurs ?  et bien faite la mesure sur plusieurs personne adulte ou enfant,le résultat est d’environ 10 cm ! Faites l’essai, vous verrez bien!

Sinon, il faut lire CORRECTEMENT l’énoncé, ça vous rappel pas certains de vos anciens prof ? Le résultat est à donner en M ce qui, dans le Système International  , est l’abréviation de mille marin, non des « mille US ( mi ), mètres (m), ou voir des kilomètre (km)  comme dans beaucoup de réponses.

Bref… voici l’explication et la démonstration complète.

Illustration pour mieux comprendre le problème

• Le globe terrestre est en bleu. La flèche rouge, c’est moi et mes yeux!

Je peux voir le point vert évidement, mais pas le point rouge et la limite (point orange) c’est tout bêtement ce que nous appelons l’horizon.

• Une paire de jumelle ni change rien, même à fort grossissement ! C’est assez logique en même temps !!
• En effet, il faut se souvenir que la lumière se propage en ligne droite… enfin presque !   Il se peut qu’une certaine humidité de l’atmosphère ainsi que d’autres facteurs comme la température , les rayons de  lumière se courbe un peu… et alors le point rouge peut devenir visible, ce phénomène s’appelle les mirages comme dans Tintin dans le désert.

Passons au calcul

Prenant un homme dont les yeux sont à 1.73m et DEBOUT sur son bateau dont le pont est à 1,50 m du niveau de la mer , donc à 1,50 + 1,73 = 3,23 m

Calcul Littéral

• h = hauteur de vision ( homme et bateau ) ,   a = distance à l’horizon, et R = Rayon de la terre

• R² + a² = (R + h)²
• R² + a² = R² + 2Rh + h²
• a² = 2 Rh + h²
• a = √( 2Rh+h²)

En fait, on peut très bien dire: h << R, et négliger h².

Cela simplifie encore sensiblement le formule : a² = 2 Rh .

Calcul Numérique

• h = 3,23 m
• R = 6,378 10⁶ m   # on est quand même plus proche de l’équateur que du pole S
• a² = 2 x 6,378.10⁶ x 3,23 + 3,23²
• a² = 41 201 890
• a = 6 418 m soit 3,46 M    # résultat demandé en Mille Marin pas en m, km ou mi ( mille US )

nota :  Rayon équatorial de la Terre = 6 378,137 km
            Rayon polaire de la Terre = 6 356,752 km
             Rayon moyen = 6 371,0 km

Le même calcul en représentation graphique

Graphe 1 : Un homme sur la plage

Le graphe montre trois courbes:

• au milieu, avec la formule simplifiée indiquée ci-dessus.
• de chaque côté, les courbes exactes (avec a² = 2 Rh + h²) et les rayons min et max de la Terre (6 352 800 et 6 378 137 en m).

La sensibilité au rayon terrestre est faible. L’écart est bien inférieur aux incertitudes de mesures dues au relief et aux vagues.

Graphe 2 : Sensibilité de la hauteur de l’observation par rapport à la distance

Yeux compris à une hauteur entre 0m à 10 m

On peut retenir qu’à

• 1,8 m, l’horizon est proche des 5 km (4 789 m), et
• les yeux à 8 mètres de hauteur, l’horizon se trouve à 10 km (10,097).

Sur ce graphe, les trois courbes sont toujours représentées, mais superposée à cette échelle montrant que la variation du rayon de la terre ou de la simplification de la formule ne sont pas si importante que cela.

Effet de la réfraction

Dans la réalité, le calcul géométrique indiqué doit être corrigé en tenant compte de la réfraction des ondes électromagnétiques (et donc de la lumière) . La courbure des rayons provoque une sorte de soulèvement de l’horizon, éloignant sensiblement sa limite:

• En navigation a vue (rayon lumineux): ajoutez 8,8 %
• En réception radar (ondes à grande fréquence): ajoutez 14%.

Tableau indiquant la valeur du coefficient k selon le mode et les unités.

Selon la nature de l’atmosphère (humidité, stabilité, température, …), le phénomène de réfraction peut être amplifié au point de produire le phénomène de mirage. Comme si la terre était moins ronde…. aaaah…  la belle image de l’illustration était donc un indice !

Tableau indiquant la valeur du coefficient k selon le mode et les unités

En tenant compte des approximations courantes et de la réfraction on se retrouve avec la formule suivante facile à retenir:

a = 2,1√h

avec a en Mille et h en mètre

Voila, c’est pas si compliqué en fait !  🙂

Il n’y a plus qu’a calculer si à l’observatoire des baleines au Cap N’Doua, on peut voir l’Ile des Pins ou uniquement son point culminant, le Pic N’ga   , mais pour cela, il faudra organiser une croisière pour vérifier cela ensemble !

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Un grand merci à Véronique pour avoir posé cette « toute petite question à bord »  !

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